Математический анализ Примеры

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ в виде $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ .

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ , вынося $\tan (2 x)$ из логарифма.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Этап 3

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$ , подставив значение $(\frac{π}{4})$ для $x$ .

$e^{\tan (2 (\frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на каждый элемент матрицы.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 (2)})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 \cdot 2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{\tan ((\frac{π}{2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 3.4

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 (2)}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$e^{\tan (\frac{π}{2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 3.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{2})$ : $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим $\frac{π}{2}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$e^{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.2

Применим формулу для суммы углов.

$e^{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7

Упростим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.1

Умножим $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.1.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.1.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.1.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.2.5

Найдем экспоненту.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.5.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 3.6

Так как выражение $e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Этап 5

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$ , подставив значение $(\frac{π}{4})$ для $x$ .

$e^{\tan (2 (\frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на каждый элемент матрицы.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 (2)})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 \cdot 2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{\tan ((\frac{π}{2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 5.4

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 (2)}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$e^{\tan (\frac{π}{2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Этап 5.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{2})$ : $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим $\frac{π}{2}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$e^{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.2

Применим формулу для суммы углов.

$e^{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7

Упростим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1.1

Умножим $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1.1.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.1.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.1.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.2.5

Найдем экспоненту.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.5.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 5.6

Так как выражение $e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 6

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$