Математический анализ Примеры

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$ в виде $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$ .

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})$ , вынося $\cot (4 x)$ из логарифма.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Этап 3

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ , подставив значение $(\frac{π}{4})$ для $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.2

Умножим $4$ на каждый элемент матрицы.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.4

Выразим $\cot ((π))$ через синусы и косинусы.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.5.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.6

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.7.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.8.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.8.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 3.9

Так как выражение $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Этап 5

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ , подставив значение $(\frac{π}{4})$ для $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.2

Умножим $4$ на каждый элемент матрицы.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.4

Выразим $\cot ((π))$ через синусы и косинусы.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.5.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.6

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.6.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.7.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.8.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.8.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Этап 5.9

Так как выражение $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 6

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$