Математический анализ Примеры

$lim_{w \to k} \frac{w^{2} + 9 k w + 8 k^{2}}{w^{2} + k w}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $w$ к $k$ .

$\frac{lim_{w \to k} w^{2} + 9 k w + 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $w$ к $k$ .

$\frac{lim_{w \to k} w^{2} + lim_{w \to k} 9 k w + lim_{w \to k} 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $w^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + lim_{w \to k} 9 k w + lim_{w \to k} 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Этап 4

Вынесем член $9 k$ из-под знака предела, так как он не зависит от $w$ .

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + lim_{w \to k} 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Этап 5

Найдем предел $8 k^{2}$ , который является константой по мере приближения $w$ к $k$ .

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $w$ к $k$ .

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + lim_{w \to k} k w}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $w^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + lim_{w \to k} k w}$

Этап 8

Вынесем член $k$ из-под знака предела, так как он не зависит от $w$ .

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + k lim_{w \to k} w}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $k$ для всех вхождений $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $w$ , подставив значение $k$ для $w$ .

$\frac{k^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + k lim_{w \to k} w}$

Этап 9.2

Найдем предел $w$ , подставив значение $k$ для $w$ .

$\frac{k^{2} + 9 k \cdot k + 8 k^{2}}{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + k lim_{w \to k} w}$

Этап 9.3

Найдем предел $w$ , подставив значение $k$ для $w$ .

$\frac{k^{2} + 9 k \cdot k + 8 k^{2}}{k^{2} + k lim_{w \to k} w}$

Этап 9.4

Найдем предел $w$ , подставив значение $k$ для $w$ .

$\frac{k^{2} + 9 k \cdot k + 8 k^{2}}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Добавим $k^{2}$ и $8 k^{2}$ .

$\frac{9 k^{2} + 9 k \cdot k}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $9 k$ из $9 k^{2} + 9 k \cdot k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вынесем множитель $9 k$ из $9 k^{2}$ .

$\frac{9 k (k) + 9 k \cdot k}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.2.2

Вынесем множитель $9 k$ из $9 k \cdot k$ .

$\frac{9 k (k) + 9 k (k)}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.2.3

Вынесем множитель $9 k$ из $9 k (k) + 9 k (k)$ .

$\frac{9 k (k + k)}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.3

Добавим $k$ и $k$ .

$\frac{9 k \cdot 2 k}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{18 k \cdot k}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.4.2

Возведем $k$ в степень $1$ .

$\frac{18 (k^{1} k)}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.4.3

Возведем $k$ в степень $1$ .

$\frac{18 (k^{1} k^{1})}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{18 k^{1 + 1}}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{18 k^{2}}{k^{2} + k \cdot k}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $k$ из $k^{2} + k \cdot k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Вынесем множитель $k$ из $k^{2}$ .

$\frac{18 k^{2}}{k \cdot k + k \cdot k}$

Этап 10.2.1.2

Вынесем множитель $k$ из $k \cdot k$ .

$\frac{18 k^{2}}{k \cdot k + k (k)}$

Этап 10.2.1.3

Вынесем множитель $k$ из $k \cdot k + k (k)$ .

$\frac{18 k^{2}}{k (k + k)}$

Этап 10.2.2

Добавим $k$ и $k$ .

$\frac{18 k^{2}}{k \cdot 2 k}$

Этап 10.2.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Возведем $k$ в степень $1$ .

$\frac{18 k^{2}}{2 (k^{1} k)}$

Этап 10.2.3.2

Возведем $k$ в степень $1$ .

$\frac{18 k^{2}}{2 (k^{1} k^{1})}$

Этап 10.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{18 k^{2}}{2 k^{1 + 1}}$

Этап 10.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{18 k^{2}}{2 k^{2}}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18 k^{2}$ .

$\frac{2 (9 k^{2})}{2 k^{2}}$

Этап 10.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 k^{2}$ .

$\frac{2 (9 k^{2})}{2 (k^{2})}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (9 k^{2})}{2 k^{2}}$

Этап 10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 k^{2}}{k^{2}}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 k^{2}}{k^{2}}$

Этап 10.4.2

Разделим $9$ на $1$ .

$9$