Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 9} \sqrt[6]{7 x + 1} - 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} \sqrt[6]{7 x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[6]{lim_{x \to 9} 7 x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{\sqrt[6]{lim_{x \to 9} 7 x + lim_{x \to 9} 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 1.4

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 1.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$ на $\frac{x \cdot 9}{x \cdot 9}$ .

$\frac{x \cdot 9}{x \cdot 9} \cdot \frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 (\frac{1}{x} - \frac{1}{9})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 9$ .

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x (9) \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9}$ в числитель.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot 9 \frac{- 1}{9}}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $9$ из $x \cdot 9$ .

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + 9 \cdot x \frac{- 1}{9}}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + 9 \cdot x \frac{- 1}{9}}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $x \cdot 9$ из $x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $x \cdot 9$ из $x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}) + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $x \cdot 9$ из $x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}) + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{63 + 1} - 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{63 + 1} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Добавим $63$ и $1$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{64} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.2

Перепишем $64$ в виде $2^{6}$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{2^{6}} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{x \cdot 9 (2 - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{x \cdot 9 \cdot 0}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{0 \cdot 9}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.4.5.2

Умножим $0$ на $9$ .

$\frac{0}{9 + x \cdot - 1}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot x}$

Этап 3.5.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{0}{9 - x}$

Этап 3.6

Разделим $0$ на $9 - x$ .

$0$