Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Этап 1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1^{2}}}$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Этап 2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ в степень $1$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Этап 2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 2}}$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}}$

Этап 2.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}$ в виде $(x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ в виде ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 2.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 2.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Этап 2.3.5.5

Упростим.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.2

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$