Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (\frac{4 \sin (4 x)}{4 x}) (\frac{7 x}{7 \sin (7 x)})$

Этап 1

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (4 x)}{4 x} \cdot \frac{7 x}{7 \sin (7 x)}$

Этап 1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x} \cdot \frac{7 x}{7 \sin (7 x)}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x} \cdot \frac{7 x}{7 \sin (7 x)}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x} \cdot \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.1.2.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.3.6

Перенесем $4$ влево от $\cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 3.4

Разделим $4 \cos (4 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 4.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$4 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 4.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}$

Этап 5.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}$

Этап 5.1.3.1.2

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{\sin (7 \cdot 0)}$

Этап 5.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Умножим $7$ на $0$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 5.1.3.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (7 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}$

Этап 5.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}$

Этап 5.3.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}$

Этап 5.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}$

Этап 5.3.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (7 x) \cdot 7 \cdot 1}$

Этап 5.3.6

Умножим $7$ на $1$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (7 x) \cdot 7}$

Этап 5.3.7

Перенесем $7$ влево от $\cos (7 x)$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{7 \cos (7 x)}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $\frac{1}{7}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{1}{7} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (7 x)}$

Этап 6.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{1}{7} \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

Этап 6.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{1}{7} \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

Этап 6.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{1}{7} \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}$

Этап 6.5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \frac{1}{7} \frac{1}{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \frac{1}{7} \frac{1}{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \frac{1}{7} \frac{1}{\cos (7 \cdot 0)}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $4$ на $0$ .

$4 \cos (0) \cdot \frac{1}{7} \frac{1}{\cos (7 \cdot 0)}$

Этап 8.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{7} \frac{1}{\cos (7 \cdot 0)}$

Этап 8.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \cdot \frac{1}{7} \frac{1}{\cos (7 \cdot 0)}$

Этап 8.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\cos (7 \cdot 0)}$

Этап 8.5

Переведем $\frac{1}{\cos (7 \cdot 0)}$ в $\sec (7 \cdot 0)$ .

$\frac{4}{7} \sec (7 \cdot 0)$

Этап 8.6

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{4}{7} \sec (0)$

Этап 8.7

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{4}{7} \cdot 1$

Этап 8.8

Умножим $\frac{4}{7}$ на $1$ .

$\frac{4}{7}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{7}$

Десятичная форма:

$0.\overline{571428}$