Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \sin (- x)}{x \sin (3 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} - x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (- lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0) \cdot \sin (- lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.7.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.7.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.7.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Этап 1.1.3.5.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.5.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \sin (- x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x) \sin (- x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x) \sin (- x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (4 x)$ и $g (x) = \sin (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (- x)] + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\cos (- x) \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) (- 1 \cdot 1) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) \cdot - 1 + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.7

Перенесем $- 1$ влево от $\sin (4 x) \cos (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot (\sin (4 x) \cos (- x)) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.8

Перепишем $- 1 \sin (4 x)$ в виде $- \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.9.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.12

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.13

Перенесем $4$ влево от $\sin (- x) \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + 4 \cdot (\sin (- x) \cos (4 x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.14.1

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (- x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) \sin (- x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.14.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.14.2.1

Так как $\cos (- x)$ — четная функция, перепишем $\cos (- x)$ в виде $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) \sin (- x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.14.2.2

Так как $\sin (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.14.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.15

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.16

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.16.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.16.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.16.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.17

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.19

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.20

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) \cdot 1}$

Этап 1.3.22

Умножим $\sin (3 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)}$

Этап 1.3.23

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.7

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.9

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.11

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0 - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.6

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 - 4 \cos (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{0 - 4 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.9

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.1.10

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.2.12.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 2.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 2.1.3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 2.1.3.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Этап 2.1.3.9.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x) \sin (4 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.6

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.7

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) \cdot 4) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.8

Перенесем $4$ влево от $\cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (4 \cdot \cos (4 x)) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.3.9

Перенесем $4$ влево от $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \cos (4 x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.2

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.7

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) \cdot 4))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.4.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 (\cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + 1 (\sin (4 x) (\sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.3.3

Умножим $\sin (4 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.3.4

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 \cos (4 x) \cos (x) + 16 (\sin (x) (\sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.3.5

Изменим порядок множителей в $- 4 \cos (4 x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 \cos (x) \cos (4 x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.3.6

Вычтем $4 \cos (x) \cos (4 x)$ из $- 4 \cos (x) \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.3.7

Изменим порядок множителей в $\sin (4 x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (x) \sin (4 x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.5.3.8

Добавим $\sin (x) \sin (4 x)$ и $16 \sin (x) \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x \cos (3 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.7

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) \cdot 3) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.7.9

Умножим $\cos (3 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 2.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 2.3.8.1.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 2.3.8.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 2.3.8.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 2.3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

Этап 2.3.8.4

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

Этап 2.3.8.5

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x))) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Этап 2.3.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{- 9 (x (\sin (3 x))) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Этап 2.3.9.2.2

Добавим $3 \cos (3 x)$ и $3 \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 8 \cos (x) \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.3

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.8

Вынесем член $17$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.12

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.13

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.14

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.15

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.16

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.17

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 3.18

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Этап 3.19

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 3.20

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 8 \cdot 1 \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{- 8 \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{- 8 \cdot \cos (0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 8 \cdot 1 + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{- 8 + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 8 + 17 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.7

Умножим $17$ на $0$ .

$\frac{- 8 + 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.8

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{- 8 + 0 \cdot \sin (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.9

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 8 + 0 \cdot 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.10

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{- 8 + 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.1.11

Добавим $- 8$ и $0$ .

$\frac{- 8}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 9$ на $0$ .

$\frac{- 8}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{- 8}{0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 8}{0 \cdot 0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{- 8}{0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 5.2.5

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{- 8}{0 + 6 \cos (0)}$

Этап 5.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 8}{0 + 6 \cdot 1}$

Этап 5.2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{- 8}{0 + 6}$

Этап 5.2.8

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{- 8}{6}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $- 8$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 (- 4)}{6}$

Этап 5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{3}$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$- 1.\overline{3}$