Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\tan (x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.3

Переведем $\frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cos (2 x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cot (x)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2} \cdot π$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} 2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Этап 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2} \cdot π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2} \cdot π$ для $x$ .

$\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot π)) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2} \cdot π$ для $x$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{1}{2} \cdot π)$

Этап 6.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Этап 7.1.2

Перепишем это выражение.

$\cos (π) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Этап 7.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (0) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Этап 7.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Этап 7.5

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 1 \cdot 0$

Этап 7.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$