Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cot (2 x)}{\csc (x)}$

Этап 1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (x)}$

Этап 2

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 2.2

Выразим $\cot (2 x)$ через синусы и косинусы.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (x)$

Этап 2.4

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (x)$

Этап 2.5.2

Переведем $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ в $\cot (2 x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (x)$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (2 x) \sin (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (x) \\ - 0.1 & 0.4924937 \\ - 0.01 & 0.49992499 \\ - 0.001 & 0.49999925 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.5$ . Таким образом, предел $\cot (2 x) \sin (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0.5$ .

$0.5$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (2 x) \sin (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (x) \\ 0.1 & 0.4924937 \\ 0.01 & 0.49992499 \\ 0.001 & 0.49999925 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.5$ . Таким образом, предел $\cot (2 x) \sin (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0.5$ .

$3 \cdot 0.5$

Этап 9

Умножим $3$ на $0.5$ .

$1.5$