Математический анализ Примеры

$L = lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 8}}{x - 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$L = \frac{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 8}}{lim_{x \to 8} x - 2}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$L = \frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 8}}{lim_{x \to 8} x - 2}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$L = \frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 8}}{lim_{x \to 8} x - 2}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$L = \frac{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 8}}{lim_{x \to 8} x - 2}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$L = \frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 8}}{lim_{x \to 8} x - 2}$

Этап 6

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$L = \frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 8}}{lim_{x \to 8} x - 2}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$L = \frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 8}}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$L = \frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 8}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$L = \frac{\sqrt{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 8}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$L = \frac{\sqrt{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 8}}{8 - 1 \cdot 2}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$L = \frac{\sqrt{4 \cdot 64 - 1 \cdot 8}}{8 - 1 \cdot 2}$

Этап 10.1.2

Умножим $4$ на $64$ .

$L = \frac{\sqrt{256 - 1 \cdot 8}}{8 - 1 \cdot 2}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$L = \frac{\sqrt{256 - 8}}{8 - 1 \cdot 2}$

Этап 10.1.4

Вычтем $8$ из $256$ .

$L = \frac{\sqrt{248}}{8 - 1 \cdot 2}$

Этап 10.1.5

Перепишем $248$ в виде $2^{2} \cdot 62$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $248$ .

$L = \frac{\sqrt{4 (62)}}{8 - 1 \cdot 2}$

Этап 10.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$L = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 62}}{8 - 1 \cdot 2}$

Этап 10.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$L = \frac{2 \sqrt{62}}{8 - 1 \cdot 2}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$L = \frac{2 \sqrt{62}}{8 - 2}$

Этап 10.2.2

Вычтем $2$ из $8$ .

$L = \frac{2 \sqrt{62}}{6}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{62}$ .

$L = \frac{2 (\sqrt{62})}{6}$

Этап 10.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$L = \frac{2 \sqrt{62}}{2 \cdot 3}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$L = \frac{2 \sqrt{62}}{2 \cdot 3}$

Этап 10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$L = \frac{\sqrt{62}}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$L = \frac{\sqrt{62}}{3}$

Десятичная форма:

$L = 2.62466929 \dots$