Математический анализ Примеры

$y = 4 {(\sqrt{x} + 1)}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

Этап 1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$4 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$4 (5 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $5$ на $4$ .

$20 ({(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $20$ .

$\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$

Этап 10.3

Объединим $\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4

Вынесем множитель $2$ из $20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{10 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 (x^{2} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{1}{2} \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{1} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.5

Упростим.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1 + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.9

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.2.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 x^{2} + 10 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Умножим $4$ на $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.4.2

Умножим $6$ на $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.4.3

Умножим $4$ на $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.1.4.4

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2

Изменим порядок членов.

$\frac{10 x^{2} + 60 x + 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$