Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{2 x}$

Этап 2

Так как числитель положителен, а знаменатель $2 x$ стремится к нулю и больше нуля для $x$ около $0$ справа, функция неограниченно растет.

$\infty$