Математический анализ Примеры

$lim_{x \to x^{6}} \frac{3 x^{4} + 4 x - 5}{x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to x^{6}} 3 x^{4} + 4 x - 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to x^{6}} 3 x^{4} + lim_{x \to x^{6}} 4 x - lim_{x \to x^{6}} 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to x^{6}} x^{4} + lim_{x \to x^{6}} 4 x - lim_{x \to x^{6}} 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Этап 4

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + lim_{x \to x^{6}} 4 x - lim_{x \to x^{6}} 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Этап 5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - lim_{x \to x^{6}} 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Этап 6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $x^{6}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $x^{6}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - lim_{x \to x^{6}} 7 x^{4} - lim_{x \to x^{6}} 2 x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Этап 8

Вынесем степень $6$ в выражении $x^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - lim_{x \to x^{6}} 7 x^{4} - lim_{x \to x^{6}} 2 x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Этап 9

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 lim_{x \to x^{6}} x^{4} - lim_{x \to x^{6}} 2 x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Этап 10

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - lim_{x \to x^{6}} 2 x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Этап 12

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $x^{6}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $x^{6}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $x^{6}$ для $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $x^{6}$ для $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $x^{6}$ для $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Этап 13.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $x^{6}$ для $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Этап 13.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $x^{6}$ для $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{6 \cdot 4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Этап 14.1.1.2

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Этап 14.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{x^{6 \cdot 6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Этап 14.2.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{x^{36} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Этап 14.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{x^{36} - 7 x^{6 \cdot 4} - 2 x^{6} + 10}$

Этап 14.2.2.2

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{x^{36} - 7 x^{24} - 2 x^{6} + 10}$