Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} 3 e^{3 x} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Этап 1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{3 x} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{3 x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 8} 3 x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Этап 5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}}{x}$

Этап 5.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}}{x}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}}}{x}$

Этап 6

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})}}{x}$

Этап 6.2

Развернем $\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})$ , вынося $\frac{1 - x}{x}$ из логарифма.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{1 - x}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1 - x}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Этап 7.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1 - x}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1 - x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Этап 7.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Этап 7.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Этап 7.6

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + 1)}}{x}$

Этап 7.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Этап 7.8

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} 3 x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Этап 7.9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Этап 7.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Этап 8.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}}{x}$

Этап 9

Умножим $e^{3 \cdot 8}$ на $e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$ .

$\frac{3 (e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)} e^{3 \cdot 8})}{x}$

Этап 9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Этап 9.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$\frac{3 e^{\frac{- 7}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Этап 9.4

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{3 e^{\frac{- 7}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Этап 9.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 e^{- \frac{7}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Этап 9.5.2

Умножим $- \frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Изменим порядок $\ln (e^{24} + 1)$ и $\frac{7}{8}$ .

$\frac{3 e^{- (\frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)) + 3 \cdot 8}}{x}$

Этап 9.5.2.2

Упростим $\frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)$ путем переноса $\frac{7}{8}$ под логарифм.

$\frac{3 e^{- \ln ({(e^{24} + 1)}^{\frac{7}{8}}) + 3 \cdot 8}}{x}$

Этап 9.5.3

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{3 e^{- \ln ({(e^{24} + 1)}^{\frac{7}{8}}) + 24}}{x}$