Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2} - 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2} - lim_{x \to \sqrt{3}} 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \sqrt{3}} 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 1.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\sqrt{3}$ для $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1} - 1 \cdot 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3.1.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{x^{4} + x^{2} + 1}$

Этап 3.2

Разделим $0$ на $x^{4} + x^{2} + 1$ .

$0$