Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 x^{2}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + lim_{x \to π} 3 x^{2}$

Этап 1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 lim_{x \to π} x^{2}$

Этап 1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 {(lim_{x \to π} x)}^{2}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 π^{2}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ , когда $x$ стремится к $π$ слева.

$\begin{array}{c} x & {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) \\ 3.04159265 & - 0.00839071 \\ 3.13159265 & 0.00008623 \\ 3.14059265 & - 0.00000011 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $π$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ , когда $x$ стремится к $π$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ , когда $x$ стремится к $π$ справа.

$\begin{array}{c} x & {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) \\ 3.24159265 & - 0.00839071 \\ 3.15159265 & 0.00008623 \\ 3.14259265 & - 0.00000092 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $π$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ , когда $x$ стремится к $π$ справа, равен $0$ .

$0 + 3 π^{2}$

Этап 9

Добавим $0$ и $3 π^{2}$ .

$3 π^{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 π^{2}$

Десятичная форма:

$29.60881320 \dots$