Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to a} (x^{2} - (a + 1) x) + a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $a$ .

$\frac{lim_{x \to a} x^{2} - lim_{x \to a} (a + 1) x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - lim_{x \to a} (a + 1) x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 3

Вынесем член $a + 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 4

Найдем предел $a$ , который является константой по мере приближения $x$ к $a$ .

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $a$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $a$ для $x$ .

$\frac{a^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $a$ для $x$ .

$\frac{a^{2} - (a + 1) a + a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} - (a + 1) a + a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot a - (a + 1) a + a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $a$ из $- (a + 1) a$ .

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.1.3

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a^{1}}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.1.4

Вынесем множитель $a$ из $a^{1}$ .

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a \cdot 1}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.1.5

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a + a (- (a + 1))$ .

$\frac{a (a - (a + 1)) + a \cdot 1}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.1.6

Вынесем множитель $a$ из $a (a - (a + 1)) + a \cdot 1$ .

$\frac{a (a - (a + 1) + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (a - a - 1 \cdot 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{a (a - a - 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.4

Вычтем $a$ из $a$ .

$\frac{a (0 - 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{a (- 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.1.6

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{a \cdot 0}{x^{3} - a^{3}}$

Этап 6.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = a$ .

$\frac{a \cdot 0}{(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})}$

Этап 6.3

Умножим $a$ на $0$ .

$\frac{0}{(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})}$

Этап 6.4

Разделим $0$ на $(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})$ .

$0$