Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8 x} 5 x^{5} + 2 x^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8 x$ .

$\frac{lim_{x \to 8 x} 5 x^{5} + lim_{x \to 8 x} 2 x^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8 x} x^{5} + lim_{x \to 8 x} 2 x^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 3

Вынесем степень $5$ в выражении $x^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{5} + lim_{x \to 8 x} 2 x^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{5} + 2 lim_{x \to 8 x} x^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{5} + 2 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8 x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{5} + 2 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8 x$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8 x$ для $x$ .

$\frac{5 {(8 x)}^{5} + 2 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8 x$ для $x$ .

$\frac{5 {(8 x)}^{5} + 2 {(8 x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим правило умножения к $8 x$ .

$\frac{5 (8^{5} x^{5}) + 2 {(8 x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.2

Возведем $8$ в степень $5$ .

$\frac{5 (32768 x^{5}) + 2 {(8 x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.3

Умножим $32768$ на $5$ .

$\frac{163840 x^{5} + 2 {(8 x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.4

Применим правило умножения к $8 x$ .

$\frac{163840 x^{5} + 2 (8^{3} x^{3}) + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.5

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{163840 x^{5} + 2 (512 x^{3}) + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.6

Умножим $512$ на $2$ .

$\frac{163840 x^{5} + 1024 x^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.7

Вынесем множитель $2$ из $163840 x^{5} + 1024 x^{3} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $163840 x^{5}$ .

$\frac{2 (81920 x^{5}) + 1024 x^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $1024 x^{3}$ .

$\frac{2 (81920 x^{5}) + 2 (512 x^{3}) + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.7.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (81920 x^{5}) + 2 (512 x^{3}) + 2 (3)}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (81920 x^{5}) + 2 (512 x^{3})$ .

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3}) + 2 (3)}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.1.7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (81920 x^{5} + 512 x^{3}) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $2 x^{4}$ из $- 6 x^{6} + 2 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2 x^{4}$ из $- 6 x^{6}$ .

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{2 x^{4} (- 3 x^{2}) + 2 x^{4}}$

Этап 8.2.2

Вынесем множитель $2 x^{4}$ из $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{2 x^{4} (- 3 x^{2}) + 2 x^{4} (1)}$

Этап 8.2.3

Вынесем множитель $2 x^{4}$ из $2 x^{4} (- 3 x^{2}) + 2 x^{4} (1)$ .

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{2 x^{4} (- 3 x^{2} + 1)}$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{2 x^{4} (- 3 x^{2} + 1)}$

Этап 8.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- 3 x^{2} + 1)}$

Этап 8.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- (3 x^{2}) + 1)}$

Этап 8.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}$

Этап 8.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- (3 x^{2} - 1))}$

Этап 8.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 1)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- 1 (3 x^{2} - 1))}$

Этап 8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (3 x^{2} - 1)}$