Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} x + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Этап 1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8 + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $8$ и $3$ .

$\frac{11}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 8 x + 1}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 8 x + 1^{2}}}$

Этап 3.2.1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 1$

Этап 3.2.1.4

Перепишем многочлен.

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 1 + 1^{2}}}$

Этап 3.2.1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 4 x$ и $b = 1$ .

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x + 1)}^{2}}}$

Этап 3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{11}{4 x + 1}$