Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{8 \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 4.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 4.1.3

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + 2 x^{2}}}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 2)}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ на $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ на $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}}$

Этап 4.4.2

Перенесем $\sqrt{x + 2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2})}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{x + 2}$ в степень $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2})}$

Этап 4.4.4

Возведем $\sqrt{x + 2}$ в степень $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1})}$

Этап 4.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{2}}$

Этап 4.4.7

Перепишем ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ в виде $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{1}}$

Этап 4.4.7.5

Упростим.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (x + 2)}$

Этап 4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{16 \sqrt{(x + 2) \cdot 2}}{x (x + 2)}$

Этап 4.6

Перенесем $2$ влево от $x + 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2 (x + 2)}}{x (x + 2)}$