Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \sqrt[4]{\frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 3.2.2

Разделим $16$ на $1$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Этап 3.5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Этап 6

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + 16}}$

Этап 7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $9$ на $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{0 + 1}{0 + 16}}$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{0 + 16}}$

Этап 7.2.3

Добавим $0$ и $16$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Этап 7.2.4

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$

Этап 7.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Этап 7.2.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Этап 7.2.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$