Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} 4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Найдем предел $4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - (x + 0)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - 1 \cdot 4 - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - 4 - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4

Объединим противоположные члены в $4 + \sqrt{5 - x} - 4 - \sqrt{5 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0 + \sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4.2

Добавим $0$ и $\sqrt{5 - x}$ .

$\frac{\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4.3

Вычтем $\sqrt{5 - x}$ из $\sqrt{5 - x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 - (x + h)}$ в виде ${(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [{(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ и $g (h) = 5 - (x + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.3

По правилу суммы производная $5 - (x + h)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.4

Поскольку $5$ является константой относительно $h$ , производная $5$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (x + h)]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- (x + h)$ по $h$ равна $- \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.6

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.7

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.14

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.16

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.17

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.18

Объединим $\frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.19

Перенесем $- 1$ влево от ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- 1 \cdot {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.20

Перепишем $- 1 {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.21

Перенесем ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- 1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- (4 + \sqrt{5 - x})$ является константой относительно $h$ , производная $- (4 + \sqrt{5 - x})$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вычтем $\frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.2.2

Добавим $- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{5 - x - h}$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{5 - x - h}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{5 - x - h}}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{5 - x - h}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 5 - x - h}}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 5 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Этап 2.7

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Этап 2.8

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x - lim_{h \to 0} h}}$

Этап 2.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x + 0}}$

Этап 2.9.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Добавим $5 - x$ и $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x}}$

Этап 2.9.2.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ на $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{5 - x}} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}})$

Этап 2.9.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ на $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x} \sqrt{5 - x}}$

Этап 2.9.2.3.2

Возведем $\sqrt{5 - x}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1} \sqrt{5 - x}}$

Этап 2.9.2.3.3

Возведем $\sqrt{5 - x}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1} {\sqrt{5 - x}}^{1}}$

Этап 2.9.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1 + 1}}$

Этап 2.9.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{2}}$

Этап 2.9.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{5 - x}}^{2}$ в виде $5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 - x}$ в виде ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.9.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.9.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.9.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.9.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{1}}$

Этап 2.9.2.3.6.5

Упростим.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{5 - x}$

Этап 2.9.2.4

Умножим $\frac{\sqrt{5 - x}}{5 - x}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5 - x}}{(5 - x) \cdot 2}$

Этап 2.9.2.5

Перенесем $2$ влево от $5 - x$ .

$- \frac{\sqrt{5 - x}}{2 (5 - x)}$