Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (2 (4) - 10^{4})}{h}$

Этап 1

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Найдем предел $2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{2 (4 + 0) - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{2 \cdot 4 - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.3

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{8 - 10^{4} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.4

Возведем $10$ в степень $4$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 10000 - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $- 1$ на $10000$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.6.1

Возведем $10$ в степень $4$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 1 \cdot 10000)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.6.2

Умножим $- 1$ на $10000$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 10000)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.7

Вычтем $10000$ из $8$ .

$\frac{8 - 10000 - - 9992}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.8

Умножим $- 1$ на $- 9992$ .

$\frac{8 - 10000 + 9992}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3

Вычтем $10000$ из $8$ .

$\frac{- 9992 + 9992}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.4

Добавим $- 9992$ и $9992$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возведем $10$ в степень $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 1 \cdot 10000)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $10000$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10000)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3

Вычтем $10000$ из $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4

По правилу суммы производная $2 (4 + h) - 10^{4 + h} - - 9992$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d h} [2 (4 + h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2 (4 + h)$ по $h$ равна $2 \frac{d}{d h} [4 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [4 + h] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.2

По правилу суммы производная $4 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.3

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- 10^{4 + h}$ по $h$ равна $- \frac{d}{d h} [10^{4 + h}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - \frac{d}{d h} [10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = 10^{h}$ и $g (h) = 4 + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $10$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{u} \ln (10) \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.3

По правилу суммы производная $4 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.4

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.6

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.7

Умножим $10^{4 + h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- - 9992]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 9992$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + \frac{d}{d h} [9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.7.2

Поскольку $9992$ является константой относительно $h$ , производная $9992$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Добавим $2 - 10^{4 + h} \ln (10)$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.8.2

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{- 10^{4 + h} \ln (10) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10^{4 + h} \ln (10) + 2}{1}$

Этап 2.4

Разделим $- 10^{4 + h} \ln (10) + 2$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10^{4 + h} \ln (10) + 2$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- lim_{h \to 0} 10^{4 + h} \ln (10) + lim_{h \to 0} 2$

Этап 3.2

Вынесем член $\ln (10)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \ln (10) lim_{h \to 0} 10^{4 + h} + lim_{h \to 0} 2$

Этап 3.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$- \ln (10) \cdot 10^{lim_{h \to 0} 4 + h} + lim_{h \to 0} 2$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{lim_{h \to 0} 4 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} 2$

Этап 3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} 2$

Этап 3.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + lim_{h \to 0} h} + 2$

Этап 4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + 0} + 2$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $4$ и $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4} + 2$

Этап 5.2

Возведем $10$ в степень $4$ .

$- \ln (10) \cdot 10000 + 2$

Этап 5.3

Умножим $10000$ на $- 1$ .

$- 10000 \ln (10) + 2$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 10000 \ln (10) + 2$

Десятичная форма:

$- 23023.85092994 \dots$