Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{t + h}{2 t + 2 h + 5} - \frac{t}{2 t + 5}}{h}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{t + h}{2 t + 2 h + 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 t + 5}{2 t + 5}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{t + h}{2 t + 2 h + 5} \cdot \frac{2 t + 5}{2 t + 5} - \frac{t}{2 t + 5}}{h}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{t}{2 t + 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 t + 2 h + 5}{2 t + 2 h + 5}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{t + h}{2 t + 2 h + 5} \cdot \frac{2 t + 5}{2 t + 5} - \frac{t}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t + 2 h + 5}{2 t + 2 h + 5}}{h}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{t + h}{2 t + 2 h + 5}$ на $\frac{2 t + 5}{2 t + 5}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{(t + h) (2 t + 5)}{(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5)} - \frac{t}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t + 2 h + 5}{2 t + 2 h + 5}}{h}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{t}{2 t + 5}$ на $\frac{2 t + 2 h + 5}{2 t + 2 h + 5}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{(t + h) (2 t + 5)}{(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5)} - \frac{t (2 t + 2 h + 5)}{(2 t + 5) (2 t + 2 h + 5)}}{h}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(2 t + 5) (2 t + 2 h + 5)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{(t + h) (2 t + 5)}{(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5)} - \frac{t (2 t + 2 h + 5)}{(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5)}}{h}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)}{(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5)}}{h}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)}{(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)}{(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5)}$ на $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)}{(2 t + 2 h + 5) (2 t + 5) h}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{2 t + 5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)}{(2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{lim_{h \to 0} (t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{lim_{h \to 0} (t + h) (2 t + 5) - lim_{h \to 0} t (2 t + 2 h + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем член $2 t + 5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) lim_{h \to 0} t + h - lim_{h \to 0} t (2 t + 2 h + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (lim_{h \to 0} t + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} t (2 t + 2 h + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.4

Найдем предел $t$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (t + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} t (2 t + 2 h + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.5

Вынесем член $t$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (t + lim_{h \to 0} h) - t lim_{h \to 0} 2 t + 2 h + 5}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (t + lim_{h \to 0} h) - t (lim_{h \to 0} 2 t + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.7

Найдем предел $2 t$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (t + lim_{h \to 0} h) - t (2 t + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (t + lim_{h \to 0} h) - t (2 t + 2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.9

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (t + lim_{h \to 0} h) - t (2 t + 2 lim_{h \to 0} h + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.10.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (t + 0) - t (2 t + 2 lim_{h \to 0} h + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.10.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) (t + 0) - t (2 t + 2 \cdot 0 + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.11.1

Добавим $t$ и $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{(2 t + 5) t - t (2 t + 2 \cdot 0 + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.11.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t \cdot t + 5 t - t (2 t + 2 \cdot 0 + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - t (2 t + 2 \cdot 0 + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - t (2 t + 0 + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.4

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - t (2 t + 5)}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - t \cdot 2 t - t \cdot 5}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 5}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - 1 \cdot 2 t \cdot t - 5 t}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.11.2.8.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.11.2.8.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - 1 \cdot 2 t \cdot t - 5 t}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.8.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - 1 \cdot 2 t^{2} - 5 t}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.2.8.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{2 t^{2} + 5 t - 2 t^{2} - 5 t}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.3

Объединим противоположные члены в $2 t^{2} + 5 t - 2 t^{2} - 5 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.11.3.1

Вычтем $2 t^{2}$ из $2 t^{2}$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{5 t + 0 - 5 t}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.3.2

Добавим $5 t$ и $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{5 t - 5 t}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.2.11.3.3

Вычтем $5 t$ из $5 t$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (2 t + 2 h + 5) h}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} 2 t + 2 h + 5 \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} 2 t + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 5) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $2 t$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{(2 t + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 5) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{(2 t + 2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{(2 t + 2 lim_{h \to 0} h + 5) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{(2 t + 2 \cdot 0 + 5) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.6.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{(2 t + 2 \cdot 0 + 5) \cdot 0}$

Этап 3.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{(2 t + 0 + 5) \cdot 0}$

Этап 3.1.3.7.2

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{(2 t + 5) \cdot 0}$

Этап 3.1.3.7.3

Умножим $2 t + 5$ на $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)}{(2 t + 2 h + 5) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $(t + h) (2 t + 5) - t (2 t + 2 h + 5)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [(t + h) (2 t + 5)] + \frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(t + h) (2 t + 5)] + \frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [(t + h) (2 t + 5)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $2 t + 5$ является константой относительно $h$ , производная $(t + h) (2 t + 5)$ по $h$ равна $(2 t + 5) \frac{d}{d h} [t + h]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{(2 t + 5) \frac{d}{d h} [t + h] + \frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.3.2

По правилу суммы производная $t + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [t] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{(2 t + 5) (\frac{d}{d h} [t] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.3.3

Поскольку $t$ является константой относительно $h$ , производная $t$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{(2 t + 5) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{(2 t + 5) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{(2 t + 5) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.3.6

Умножим $2 t + 5$ на $1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 + \frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- t (2 t + 2 h + 5)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- t$ является константой относительно $h$ , производная $- t (2 t + 2 h + 5)$ по $h$ равна $- t \frac{d}{d h} [2 t + 2 h + 5]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t \frac{d}{d h} [2 t + 2 h + 5]}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.2

По правилу суммы производная $2 t + 2 h + 5$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2 t] + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [5]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t (\frac{d}{d h} [2 t] + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [5])}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.3

Поскольку $2 t$ является константой относительно $h$ , производная $2 t$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t (0 + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [5])}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.4

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2 h$ по $h$ равна $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t (0 + 2 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [5])}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t (0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [5])}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.6

Поскольку $5$ является константой относительно $h$ , производная $5$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t (0 + 2 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t (0 + 2 + 0)}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.8

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t (2 + 0)}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.9

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - t \cdot 2}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.4.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{2 t + 5 - 2 t}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вычтем $2 t$ из $2 t$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{0 + 5}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.5.2

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{\frac{d}{d h} [(2 t + 2 h + 5) h]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ имеет вид $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , где $f (h) = 2 t + 2 h + 5$ и $g (h) = h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{(2 t + 2 h + 5) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [2 t + 2 h + 5]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{(2 t + 2 h + 5) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [2 t + 2 h + 5]}$

Этап 3.3.8

Умножим $2 t + 2 h + 5$ на $1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h \frac{d}{d h} [2 t + 2 h + 5]}$

Этап 3.3.9

По правилу суммы производная $2 t + 2 h + 5$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2 t] + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [5]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h (\frac{d}{d h} [2 t] + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [5])}$

Этап 3.3.10

Поскольку $2 t$ является константой относительно $h$ , производная $2 t$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h (0 + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [5])}$

Этап 3.3.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [2 h]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h (\frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [5])}$

Этап 3.3.12

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2 h$ по $h$ равна $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h (2 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [5])}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h (2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [5])}$

Этап 3.3.14

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h (2 + \frac{d}{d h} [5])}$

Этап 3.3.15

Поскольку $5$ является константой относительно $h$ , производная $5$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h (2 + 0)}$

Этап 3.3.16

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + h \cdot 2}$

Этап 3.3.17

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 2 h + 5 + 2 \cdot h}$

Этап 3.3.18

Добавим $2 h$ и $2 h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{2 t + 4 h + 5}$

Этап 3.3.19

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2 t + 5} lim_{h \to 0} \frac{5}{4 h + 2 t + 5}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot 5 lim_{h \to 0} \frac{1}{4 h + 2 t + 5}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot 5 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} 4 h + 2 t + 5}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot 5 \frac{1}{lim_{h \to 0} 4 h + 2 t + 5}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot 5 \frac{1}{lim_{h \to 0} 4 h + lim_{h \to 0} 2 t + lim_{h \to 0} 5}$

Этап 4.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot 5 \frac{1}{4 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 t + lim_{h \to 0} 5}$

Этап 4.6

Найдем предел $2 t$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot 5 \frac{1}{4 lim_{h \to 0} h + 2 t + lim_{h \to 0} 5}$

Этап 4.7

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot 5 \frac{1}{4 lim_{h \to 0} h + 2 t + 5}$

Этап 5

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2 t + 5} \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 0 + 2 t + 5}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2 t + 5}$ и $5$ .

$\frac{5}{2 t + 5} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0 + 2 t + 5}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{5}{2 t + 5} \cdot \frac{1}{0 + 2 t + 5}$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $2 t$ .

$\frac{5}{2 t + 5} \cdot \frac{1}{2 t + 5}$

Этап 6.3

Умножим $\frac{5}{2 t + 5} \cdot \frac{1}{2 t + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{5}{2 t + 5}$ на $\frac{1}{2 t + 5}$ .

$\frac{5}{(2 t + 5) (2 t + 5)}$

Этап 6.3.2

Возведем $2 t + 5$ в степень $1$ .

$\frac{5}{{(2 t + 5)}^{1} (2 t + 5)}$

Этап 6.3.3

Возведем $2 t + 5$ в степень $1$ .

$\frac{5}{{(2 t + 5)}^{1} {(2 t + 5)}^{1}}$

Этап 6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{{(2 t + 5)}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5}{{(2 t + 5)}^{2}}$