Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 11} - \sqrt{11}}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{h^{2} + 4 h + 11} - \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{h^{2} + 4 h + 11} - lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0^{+}} h^{2} + 4 h + 11} - lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0^{+}} h^{2} + lim_{h \to 0^{+}} 4 h + lim_{h \to 0^{+}} 11} - lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0^{+}} h)}^{2} + lim_{h \to 0^{+}} 4 h + lim_{h \to 0^{+}} 11} - lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0^{+}} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0^{+}} h + lim_{h \to 0^{+}} 11} - lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $11$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0^{+}} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0^{+}} h + 11} - lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.7

Найдем предел $\sqrt{11}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0^{+}} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0^{+}} h + 11} - \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\sqrt{0^{2} + 4 lim_{h \to 0^{+}} h + 11} - \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.8.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\sqrt{0^{2} + 4 \cdot 0 + 11} - \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 4 \cdot 0 + 11} - \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.9.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 0 + 11} - \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.9.1.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 11} - \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.9.1.4

Добавим $0$ и $11$ .

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{11}}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.2.9.2

Вычтем $\sqrt{11}$ из $\sqrt{11}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0^{+}} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 11} - \sqrt{11}}{h} = lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{h^{2} + 4 h + 11} - \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{h^{2} + 4 h + 11} - \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{h^{2} + 4 h + 11} - \sqrt{11}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\sqrt{h^{2} + 4 h + 11}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{h^{2} + 4 h + 11}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\sqrt{h^{2} + 4 h + 11}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{h^{2} + 4 h + 11}$ в виде ${(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d h} [{(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ и $g (h) = h^{2} + 4 h + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $h^{2} + 4 h + 11$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [h^{2} + 4 h + 11] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h^{2} + 4 h + 11] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $h^{2} + 4 h + 11$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h^{2} + 4 h + 11] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $h^{2} + 4 h + 11$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [11]$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [11]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 h + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [11]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4 h$ по $h$ равна $4 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 h + 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [11]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 h + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [11]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.7

Поскольку $11$ является константой относительно $h$ , производная $11$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 h + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 h + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 h + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 h + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 h + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{- 1}{2}} (2 h + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{- \frac{1}{2}} (2 h + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.13

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{- \frac{1}{2}} (2 h + 4 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.14

Добавим $2 h + 4$ и $0$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(h^{2} + 4 h + 11)}^{- \frac{1}{2}} (2 h + 4) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(h^{2} + 4 h + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{{(h^{2} + 4 h + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 h + 4) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.16

Перенесем ${(h^{2} + 4 h + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 h + 4) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{11}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- \sqrt{11}$ является константой относительно $h$ , производная $- \sqrt{11}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 h + 4) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $\frac{1}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 h + 4)$ и $0$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 h + 4)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 h + 4)$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{(2 h + 4) \frac{1}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $2 h + 4$ на $\frac{1}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{2 h + 4}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.4

Вынесем множитель $2$ из $2 h$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (h) + 4}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.5

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (h) + 2 \cdot 2}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (h) + 2 (2)$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (h + 2)}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (h + 2)}{2 ({(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.7.2

Сократим общий множитель.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (h + 2)}{2 {(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.7.3

Перепишем это выражение.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{h + 2}{{(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{h + 2}{{(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{h + 2}{{(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(h^{2} + 4 h + 11)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{h^{2} + 4 h + 11}$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{h + 2}{\sqrt{h^{2} + 4 h + 11}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{h + 2}{\sqrt{h^{2} + 4 h + 11}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{h + 2}{\sqrt{h^{2} + 4 h + 11}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} h + 2}{lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{h^{2} + 4 h + 11}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} h + lim_{h \to 0^{+}} 2}{lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{h^{2} + 4 h + 11}}$

Этап 2.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} h + 2}{lim_{h \to 0^{+}} \sqrt{h^{2} + 4 h + 11}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} h + 2}{\sqrt{lim_{h \to 0^{+}} h^{2} + 4 h + 11}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} h + 2}{\sqrt{lim_{h \to 0^{+}} h^{2} + lim_{h \to 0^{+}} 4 h + lim_{h \to 0^{+}} 11}}$

Этап 2.6

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} h + 2}{\sqrt{{(lim_{h \to 0^{+}} h)}^{2} + lim_{h \to 0^{+}} 4 h + lim_{h \to 0^{+}} 11}}$

Этап 2.7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} h + 2}{\sqrt{{(lim_{h \to 0^{+}} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0^{+}} h + lim_{h \to 0^{+}} 11}}$

Этап 2.8

Найдем предел $11$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0^{+}} h + 2}{\sqrt{{(lim_{h \to 0^{+}} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0^{+}} h + 11}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0 + 2}{\sqrt{{(lim_{h \to 0^{+}} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0^{+}} h + 11}}$

Этап 3.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0 + 2}{\sqrt{0^{2} + 4 lim_{h \to 0^{+}} h + 11}}$

Этап 3.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0 + 2}{\sqrt{0^{2} + 4 \cdot 0 + 11}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{0^{2} + 4 \cdot 0 + 11}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{0 + 4 \cdot 0 + 11}}$

Этап 4.2.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{0 + 0 + 11}}$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{0 + 11}}$

Этап 4.2.4

Добавим $0$ и $11$ .

$\frac{2}{\sqrt{11}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{11}}{11^{1}}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{11}}{11}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{11}}{11}$

Десятичная форма:

$0.60302268 \dots$