Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} (3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Найдем предел $(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{3 {(2 + 0)}^{2} + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{12 + 4 - (3 \cdot 4 + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 + 4 - (12 + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2.5

Добавим $12$ и $4$ .

$\frac{12 + 4 - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2.6

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{12 + 4 - 16}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Добавим $12$ и $4$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(2 + h)}^{2}$ в виде $(2 + h) (2 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 ((2 + h) (2 + h)) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(2 + h) (2 + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (2 (2 + h) + h (2 + h)) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.2

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $h$ на $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + 2 h + h^{2}) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2

Добавим $2 h$ и $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - (3 \cdot 4 + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.2

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - (12 + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Добавим $12$ и $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - 1 \cdot 16$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $3$ является константой относительно $h$ , производная $3 (4 + 4 h + h^{2})$ по $h$ равна $3 \frac{d}{d h} [4 + 4 h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 \frac{d}{d h} [4 + 4 h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.2

По правилу суммы производная $4 + 4 h + h^{2}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.3

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.4

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4 h$ по $h$ равна $4 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + 4 \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.7

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + 4 + 2 h) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8.8

Добавим $0$ и $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h) + 0 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Умножим $- 1$ на $16$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h) + 0 + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.2

Поскольку $- 16$ является константой относительно $h$ , производная $- 16$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h) + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 4 + 3 (2 h) + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 3 (2 h) + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 6 h + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11.2.3

Добавим $12 + 6 h$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 6 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11.2.4

Добавим $12 + 6 h$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 6 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11.3

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{6 h + 12}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 h + 12}{1}$

Этап 1.4

Разделим $6 h + 12$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 6 h + 12$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 12$

Этап 2.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$6 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 12$

Этап 2.3

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$6 lim_{h \to 0} h + 12$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$6 \cdot 0 + 12$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $6$ на $0$ .

$0 + 12$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $12$ .

$12$