Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} (6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Найдем предел $(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{6 (x + 0) + 3 - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{6 x + 3 - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x + 3 - (6 x) - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{6 x + 3 - 6 x - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6 x + 3 - 6 x - 3}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4

Объединим противоположные члены в $6 x + 3 - 6 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$\frac{0 + 3 - 3}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4.2

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [6 (x + h)] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 (x + h)] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [6 (x + h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $h$ , производная $6 (x + h)$ по $h$ равна $6 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $h$ , производная $3$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0 + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- (6 x + 3)$ является константой относительно $h$ , производная $- (6 x + 3)$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $6$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.2

Добавим $6$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6}{1}$

Этап 1.4

Разделим $6$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 6$

Этап 2

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$6$