Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} ({(a + h)}^{2} - 3 (a + h) + 3) - {(a)}^{2} + 3 (a) - 3$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} {(a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 (a + h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(a + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{h \to 0} a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 (a + h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

${(lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 (a + h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 4

Найдем предел $a$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 (a + h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 lim_{h \to 0} a + h + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 7

Найдем предел $a$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 9

Найдем предел ${(a)}^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 10

Найдем предел $3 (a)$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Этап 11

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

${(a + 0)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Этап 12.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

${(a + 0)}^{2} - 3 (a + 0) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим противоположные члены в ${(a + 0)}^{2} - 3 (a + 0) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Добавим $a$ и $0$ .

$a^{2} - 3 (a + 0) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Этап 13.1.2

Добавим $a$ и $0$ .

$a^{2} - 3 a + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Этап 13.1.3

Добавим $- 3 a$ и $3 (a)$ .

$a^{2} + 3 - {(a)}^{2} + 0 - 1 \cdot 3$

Этап 13.1.4

Добавим $a^{2} + 3 - {(a)}^{2}$ и $0$ .

$a^{2} + 3 - {(a)}^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 13.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$a^{2} + 3 - a^{2} - 3$

Этап 13.3

Объединим противоположные члены в $a^{2} + 3 - a^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$0 + 3 - 3$

Этап 13.3.2

Добавим $0$ и $3$ .

$3 - 3$

Этап 13.3.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$