Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{3} - (9 (x + h))) - (x^{3} - 9 x)}{h}$

Этап 1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - 9 (x + h) - (x^{3} - 9 x)}{h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - 9 (x + h) - (x^{3} - 9 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Найдем предел ${(x + h)}^{3} - 9 (x + h) - (x^{3} - 9 x)$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{3} - 9 (x + 0) - (x^{3} - 9 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2

Объединим противоположные члены в ${(x + 0)}^{3} - 9 (x + 0) - (x^{3} - 9 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{x^{3} - 9 (x + 0) - (x^{3} - 9 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{x^{3} - 9 x - (x^{3} - 9 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - 9 x - x^{3} - (- 9 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 9 x - x^{3} + 9 x}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.4

Объединим противоположные члены в $x^{3} - 9 x - x^{3} + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{- 9 x + 0 + 9 x}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.4.2

Добавим $- 9 x$ и $0$ .

$\frac{- 9 x + 9 x}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.4.3

Добавим $- 9 x$ и $9 x$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - 9 (x + h) - (x^{3} - 9 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} - 9 (x + h) - (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} - 9 (x + h) - (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная ${(x + h)}^{3} - 9 (x + h) - (x^{3} - 9 x)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{3}$ и $g (h) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.3

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 9 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 9 (x + h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $h$ , производная $- 9 (x + h)$ по $h$ равна $- 9 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9 \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.2

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.3

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.6

Умножим $- 9$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9 + \frac{d}{d h} [- (x^{3} - 9 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $- (x^{3} - 9 x)$ является константой относительно $h$ , производная $- (x^{3} - 9 x)$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6

Добавим $3 {(x + h)}^{2} - 9$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} - 9}{1}$

Этап 2.4

Разделим $3 {(x + h)}^{2} - 9$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - 9$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9$

Этап 3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$3 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9$

Этап 3.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$3 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9$

Этап 3.5

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9$

Этап 3.6

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 9$

Этап 4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$3 {(x + 0)}^{2} - 1 \cdot 9$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 9$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$3 x^{2} - 9$