Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} (\frac{n}{2 π}) \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{n}{2 π} \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{2 π}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (lim_{n \to 8} \frac{2 π}{n}) = 1$

Этап 4

Вынесем член $2 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π lim_{n \to 8} \frac{1}{n}) = 1$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Этап 7.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{1}{2 (π)} \cdot (2 (4)) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Этап 8.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Этап 8.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} \cdot 4 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{π}$ и $4$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{8}) = 1$

Этап 8.3.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{2 (4)}) = 1$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{2 \cdot 4}) = 1$

Этап 8.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{π} \cdot \sin (π \frac{1}{4}) = 1$

Этап 8.4

Объединим $π$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (\frac{π}{4}) = 1$

Этап 8.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Этап 8.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Этап 8.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{π} \cdot \sqrt{2} = 1$

Этап 8.7

Объединим $\frac{2}{π}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{π} = 1$