Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}} + \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении ${(n + 1)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 8

Вынесем степень $3$ в выражении ${(n + 2)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 13

Вынесем степень $3$ в выражении ${(n + 3)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 14

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Этап 15

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

Этап 16

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{lim_{n \to 8} n^{2}}{lim_{n \to 8} {(n + n)}^{3}}$

Этап 17

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(n + n)}^{3}}$

Этап 18

Вынесем степень $3$ в выражении ${(n + n)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

Этап 19

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

Этап 20

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Этап 20.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Этап 20.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Этап 20.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Этап 20.5

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Этап 20.6

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Этап 20.7

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Этап 20.8

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Этап 20.9

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{8}{9^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.1.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.2.1

Добавим $8$ и $2$ .

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{10^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.2.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{8}{729} + 2 (\frac{8}{1000}) + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $1000$ .

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{2 (500)} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{2 \cdot 500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{729} + \frac{8}{500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.4

Сократим общий множитель $8$ и $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{8}{729} + \frac{4 (2)}{500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $500$ .

$\frac{8}{729} + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{729} + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.5.1

Добавим $8$ и $3$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 \frac{8}{11^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.5.2

Возведем $11$ в степень $3$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 (\frac{8}{1331}) + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.6

Умножим $3 (\frac{8}{1331})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.6.1

Объединим $3$ и $\frac{8}{1331}$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{3 \cdot 8}{1331} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.6.2

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.7

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{{(8 + 8)}^{3}}$

Этап 21.1.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.8.1

Добавим $8$ и $8$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{16^{3}}$

Этап 21.1.8.2

Возведем $16$ в степень $3$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{4096}$

Этап 21.1.9

Сократим общий множитель $64$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.9.1

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 (1)}{4096}$

Этап 21.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.9.2.1

Вынесем множитель $64$ из $4096$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}$

Этап 21.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}$

Этап 21.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Этап 21.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Умножим $\frac{8}{729}$ на $\frac{10648000}{10648000}$ .

$\frac{8}{729} \cdot \frac{10648000}{10648000} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Этап 21.2.2

Умножим $\frac{8}{729}$ на $\frac{10648000}{10648000}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Этап 21.2.3

Умножим $\frac{2}{125}$ на $\frac{62099136}{62099136}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2}{125} \cdot \frac{62099136}{62099136} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Этап 21.2.4

Умножим $\frac{2}{125}$ на $\frac{62099136}{62099136}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Этап 21.2.5

Умножим $\frac{24}{1331}$ на $\frac{5832000}{5832000}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24}{1331} \cdot \frac{5832000}{5832000} + \frac{1}{64}$

Этап 21.2.6

Умножим $\frac{24}{1331}$ на $\frac{5832000}{5832000}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{1}{64}$

Этап 21.2.7

Умножим $\frac{1}{64}$ на $\frac{121287375}{121287375}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{1}{64} \cdot \frac{121287375}{121287375}$

Этап 21.2.8

Умножим $\frac{1}{64}$ на $\frac{121287375}{121287375}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

Этап 21.2.9

Умножим $729$ на $10648000$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

Этап 21.2.10

Умножим $125$ на $62099136$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

Этап 21.2.11

Умножим $1331$ на $5832000$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{7762392000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

Этап 21.2.12

Умножим $64$ на $121287375$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{7762392000} + \frac{121287375}{7762392000}$

Этап 21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \cdot 10648000 + 2 \cdot 62099136 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

Этап 21.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.4.1

Умножим $8$ на $10648000$ .

$\frac{85184000 + 2 \cdot 62099136 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

Этап 21.4.2

Умножим $2$ на $62099136$ .

$\frac{85184000 + 124198272 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

Этап 21.4.3

Умножим $24$ на $5832000$ .

$\frac{85184000 + 124198272 + 139968000 + 121287375}{7762392000}$

Этап 21.5

Добавим $85184000$ и $124198272$ .

$\frac{209382272 + 139968000 + 121287375}{7762392000}$

Этап 21.6

Добавим $209382272$ и $139968000$ .

$\frac{349350272 + 121287375}{7762392000}$

Этап 21.7

Добавим $349350272$ и $121287375$ .

$\frac{470637647}{7762392000}$

Этап 22

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{470637647}{7762392000}$

Десятичная форма:

$0.06063049 \dots$