Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} (3^{\sin (n \cdot π)} - 1) \cdot \ln (n^{2} + 2)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$lim_{n \to 8} 3^{\sin (n \cdot π)} - 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$(lim_{n \to 8} 3^{\sin (n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$(3^{lim_{n \to 8} \sin (n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$(3^{\sin (lim_{n \to 8} n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Этап 5

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Этап 7

Внесем предел под знак логарифма.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n^{2} + 2)$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 2)$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 2)$

Этап 10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2)$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$(3^{\sin (π \cdot 8)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2)$

Этап 11.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$(3^{\sin (π \cdot 8)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$(3^{\sin (8 \cdot π)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Этап 12.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$(3^{\sin (0)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Этап 12.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$(3^{0} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Этап 12.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Этап 12.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 - 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Этап 12.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Этап 12.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$0 \cdot \ln (64 + 2)$

Этап 12.4

Добавим $64$ и $2$ .

$0 \cdot \ln (66)$

Этап 12.5

Умножим $0$ на $\ln (66)$ .

$0$