Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{5 n}{\sqrt{n + 6}}$

Этап 1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$5 lim_{n \to 8} \frac{n}{\sqrt{n + 6}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 6}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 6}}$

Этап 5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Этап 6.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{8 + 6}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $8$ и $6$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{14}}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{8}{\sqrt{14}}$ на $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$5 (\frac{8}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}})$

Этап 7.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt{14}}$ на $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{\sqrt{14} \sqrt{14}}$

Этап 7.3.2

Возведем $\sqrt{14}$ в степень $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} \sqrt{14}}$

Этап 7.3.3

Возведем $\sqrt{14}$ в степень $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} {\sqrt{14}}^{1}}$

Этап 7.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2}}$

Этап 7.3.6

Перепишем ${\sqrt{14}}^{2}$ в виде $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14}$ в виде $14^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{1}}$

Этап 7.3.6.5

Найдем экспоненту.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $8$ и $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8 \sqrt{14}$ .

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{14}$

Этап 7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{2 (7)}$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$5 \frac{4 \sqrt{14}}{7}$

Этап 7.5

Умножим $5 \frac{4 \sqrt{14}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $5$ и $\frac{4 \sqrt{14}}{7}$ .

$\frac{5 (4 \sqrt{14})}{7}$

Этап 7.5.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{20 \sqrt{14}}{7}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{20 \sqrt{14}}{7}$

Десятичная форма:

$10.69044967 \dots$