Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{3 n^{2} + 4 n + 1}{\sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + 4 n + 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{3 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Этап 5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{lim_{n \to 8} 9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{lim_{n \to 8} 9 n^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Этап 9

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 lim_{n \to 8} n^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Этап 10

Вынесем степень $4$ в выражении $n^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Этап 11

Вынесем степень $3$ в выражении $n^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Этап 12

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 13.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 13.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 13.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 13.5

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Этап 14.1.2

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{192 + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Этап 14.1.3

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{192 + 32 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Этап 14.1.4

Добавим $192$ и $32$ .

$\frac{224 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Этап 14.1.5

Добавим $224$ и $1$ .

$\frac{225}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{225}{\sqrt{9 \cdot 4096 + 8^{3} + 8 + 1}}$

Этап 14.2.2

Умножим $9$ на $4096$ .

$\frac{225}{\sqrt{36864 + 8^{3} + 8 + 1}}$

Этап 14.2.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{225}{\sqrt{36864 + 512 + 8 + 1}}$

Этап 14.2.4

Добавим $36864$ и $512$ .

$\frac{225}{\sqrt{37376 + 8 + 1}}$

Этап 14.2.5

Добавим $37376$ и $8$ .

$\frac{225}{\sqrt{37384 + 1}}$

Этап 14.2.6

Добавим $37384$ и $1$ .

$\frac{225}{\sqrt{37385}}$

Этап 14.3

Умножим $\frac{225}{\sqrt{37385}}$ на $\frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$ .

$\frac{225}{\sqrt{37385}} \cdot \frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$

Этап 14.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Умножим $\frac{225}{\sqrt{37385}}$ на $\frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{\sqrt{37385} \sqrt{37385}}$

Этап 14.4.2

Возведем $\sqrt{37385}$ в степень $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1} \sqrt{37385}}$

Этап 14.4.3

Возведем $\sqrt{37385}$ в степень $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1} {\sqrt{37385}}^{1}}$

Этап 14.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1 + 1}}$

Этап 14.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{2}}$

Этап 14.4.6

Перепишем ${\sqrt{37385}}^{2}$ в виде $37385$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{37385}$ в виде $37385^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{(37385^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 14.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 14.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{1}}$

Этап 14.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385}$

Этап 14.5

Сократим общий множитель $225$ и $37385$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Вынесем множитель $5$ из $225 \sqrt{37385}$ .

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{37385}$

Этап 14.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $37385$ .

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{5 (7477)}$

Этап 14.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{5 \cdot 7477}$

Этап 14.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

Десятичная форма:

$1.16368068 \dots$