Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 8} \frac{t + 5}{{(t + 3)}^{t}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{lim_{t \to 8} {(t + 3)}^{t}}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} t + lim_{t \to 8} 5}{lim_{t \to 8} {(t + 3)}^{t}}$

Этап 1.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{lim_{t \to 8} {(t + 3)}^{t}}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(t + 3)}^{t}$ в виде $e^{\ln ({(t + 3)}^{t})}$ .

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{lim_{t \to 8} e^{\ln ({(t + 3)}^{t})}}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(t + 3)}^{t})$ , вынося $t$ из логарифма.

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{lim_{t \to 8} e^{t \ln (t + 3)}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{e^{lim_{t \to 8} t \ln (t + 3)}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{e^{lim_{t \to 8} t \cdot lim_{t \to 8} \ln (t + 3)}}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{e^{lim_{t \to 8} t \cdot \ln (lim_{t \to 8} t + 3)}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{e^{lim_{t \to 8} t \cdot \ln (lim_{t \to 8} t + lim_{t \to 8} 3)}}$

Этап 3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} t + 5}{e^{lim_{t \to 8} t \cdot \ln (lim_{t \to 8} t + 3)}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{8 + 5}{e^{lim_{t \to 8} t \cdot \ln (lim_{t \to 8} t + 3)}}$

Этап 4.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{8 + 5}{e^{8 \cdot \ln (lim_{t \to 8} t + 3)}}$

Этап 4.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{8 + 5}{e^{8 \cdot \ln (8 + 3)}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $8$ и $5$ .

$\frac{13}{e^{8 \cdot \ln (8 + 3)}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $8 \cdot \ln (8 + 3)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\frac{13}{e^{\ln ({(8 + 3)}^{8})}}$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{13}{{(8 + 3)}^{8}}$

Этап 5.2.3

Добавим $8$ и $3$ .

$\frac{13}{11^{8}}$

Этап 5.2.4

Возведем $11$ в степень $8$ .

$\frac{13}{214358881}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{13}{214358881}$

Десятичная форма:

$6.06459594 \cdot 10^{- 8}$