Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 4} t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ в виде $e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$ .

$lim_{t \to 4} e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})$ , вынося $2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ из логарифма.

$lim_{t \to 4} e^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{t \to 4} 2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $t$ к $4$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Этап 2.4

Вынесем степень $\frac{3}{2}$ в выражении ${(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $4$ .

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Этап 2.6

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Этап 2.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Этап 2.8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $t$ к $4$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Этап 2.9

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $4$ для $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Этап 3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $4$ для $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Этап 3.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $4$ для $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$e^{2 {(16 - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$e^{2 {(16 - 12 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.2

Вычтем $12$ из $16$ .

$e^{2 {(4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.3

Добавим $4$ и $4$ .

$e^{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.4

Умножим $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$e^{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.4.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.4.2.2

Умножим $3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.4.2.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2^{1 + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$e^{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2^{\frac{2 + 9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Этап 4.4.6

Добавим $2$ и $9$ .

$e^{2^{\frac{11}{2}} \cdot \ln (4)}$

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Десятичная форма:

$1.7624831 \cdot 10^{27}$