Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{2^{n + 1} + 3^{n + 1}}{2^{n} + 3^{n}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 2^{n + 1} + 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 2^{n + 1} + lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} + lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + lim_{n \to 8} 3^{n}}$

Этап 10

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{2^{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} 3^{n}}$

Этап 11

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{2^{lim_{n \to 8} n} + 3^{lim_{n \to 8} n}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{2^{8 + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{2^{lim_{n \to 8} n} + 3^{lim_{n \to 8} n}}$

Этап 12.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{2^{8 + 1} + 3^{8 + 1}}{2^{lim_{n \to 8} n} + 3^{lim_{n \to 8} n}}$

Этап 12.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{2^{8 + 1} + 3^{8 + 1}}{2^{8} + 3^{lim_{n \to 8} n}}$

Этап 12.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{2^{8 + 1} + 3^{8 + 1}}{2^{8} + 3^{8}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{2^{9} + 3^{8 + 1}}{2^{8} + 3^{8}}$

Этап 13.1.2

Возведем $2$ в степень $9$ .

$\frac{512 + 3^{8 + 1}}{2^{8} + 3^{8}}$

Этап 13.1.3

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{512 + 3^{9}}{2^{8} + 3^{8}}$

Этап 13.1.4

Возведем $3$ в степень $9$ .

$\frac{512 + 19683}{2^{8} + 3^{8}}$

Этап 13.1.5

Добавим $512$ и $19683$ .

$\frac{20195}{2^{8} + 3^{8}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $2$ в степень $8$ .

$\frac{20195}{256 + 3^{8}}$

Этап 13.2.2

Возведем $3$ в степень $8$ .

$\frac{20195}{256 + 6561}$

Этап 13.2.3

Добавим $256$ и $6561$ .

$\frac{20195}{6817}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{20195}{6817}$

Десятичная форма:

$2.96244682 \dots$