Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{1}{n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Этап 1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $n^{\frac{1}{\ln (n)}}$ в виде $e^{\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})}$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})}}$

Этап 2.2

Развернем $\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})$ , вынося $\frac{1}{\ln (n)}$ из логарифма.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\frac{1}{\ln (n)} \ln (n)}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{\ln (n)} \ln (n)}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{\ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} \ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Этап 3.5

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (lim_{n \to 8} n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Этап 3.6

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (lim_{n \to 8} n)} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (8)}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $\ln (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (8)}}$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{1}}$

Этап 5.2

Упростим.

$\frac{1}{e}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{e}$

Десятичная форма:

$0.36787944 \dots$