Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{2}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{1}{6} lim_{n \to 8} \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{n^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{n \to 8} (n + 1) (2 n + 1)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} 2 n + 1}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} 2 n + 1}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} 2 n + 1}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot (lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 1)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot (2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot (2 lim_{n \to 8} n + 1)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot (2 lim_{n \to 8} n + 1)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(8 + 1) \cdot (2 lim_{n \to 8} n + 1)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Этап 10.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 + 1)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Этап 10.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 + 1)}{8^{2}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим.

$\frac{1 ((8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 + 1))}{6 \cdot 8^{2}}$

Этап 11.2

Умножим $8 + 1$ на $1$ .

$\frac{(8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6 \cdot 8^{2}}$

Этап 11.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{(8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6 \cdot 64}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{9 (2 \cdot 8 + 1)}{6 \cdot 64}$

Этап 11.4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{9 (16 + 1)}{6 \cdot 64}$

Этап 11.4.3

Добавим $16$ и $1$ .

$\frac{9 \cdot 17}{6 \cdot 64}$

Этап 11.5

Умножим $6$ на $64$ .

$\frac{9 \cdot 17}{384}$

Этап 11.6

Умножим $9$ на $17$ .

$\frac{153}{384}$

Этап 11.7

Сократим общий множитель $153$ и $384$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Вынесем множитель $3$ из $153$ .

$\frac{3 (51)}{384}$

Этап 11.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $384$ .

$\frac{3 \cdot 51}{3 \cdot 128}$

Этап 11.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 51}{3 \cdot 128}$

Этап 11.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{51}{128}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{51}{128}$

Десятичная форма:

$0.3984375$