Математический анализ Примеры

$lim_{n \to (\frac{π}{2})} \frac{\cos (n)}{\sin (2 n)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{\cos (n)}{\sin (2 n)}$ в виде произведения.

$lim_{n \to (\frac{π}{2})} \cos (n) \frac{1}{\sin (2 n)}$

Этап 1.2

Запишем $\cos (n)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{n \to (\frac{π}{2})} \frac{\cos (n)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 n)}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим $\cos (n)$ на $1$ .

$lim_{n \to (\frac{π}{2})} \cos (n) \frac{1}{\sin (2 n)}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (2 n)}$ в $\csc (2 n)$ .

$lim_{n \to (\frac{π}{2})} \cos (n) \csc (2 n)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $(\frac{π}{2})$ .

$lim_{n \to (\frac{π}{2})} \cos (n) \cdot lim_{n \to (\frac{π}{2})} \csc (2 n)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{n \to (\frac{π}{2})} n) \cdot lim_{n \to (\frac{π}{2})} \csc (2 n)$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$\cos (lim_{n \to (\frac{π}{2})} n) \cdot \csc (lim_{n \to (\frac{π}{2})} 2 n)$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\cos (lim_{n \to (\frac{π}{2})} n) \cdot \csc (2 lim_{n \to (\frac{π}{2})} n)$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $(\frac{π}{2})$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $(\frac{π}{2})$ для $n$ .

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \csc (2 lim_{n \to (\frac{π}{2})} n)$

Этап 6.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $(\frac{π}{2})$ для $n$ .

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \csc (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на каждый элемент матрицы.

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \csc ((2 \frac{π}{2}))$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \csc ((2 \frac{π}{2}))$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \csc ((π))$

Этап 7.3

Выразим $\csc ((π))$ через синусы и косинусы.

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \frac{1}{\sin ((π))}$

Этап 7.4

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \frac{1}{\sin (2 \frac{π}{2})}$

Этап 7.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \frac{1}{\sin (π)}$

Этап 7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \frac{1}{\sin (0)}$

Этап 7.5.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \frac{1}{0}$

Этап 7.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \frac{1}{0}$

Этап 7.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\cos ((\frac{π}{2})) \cdot \frac{1}{0}$

Этап 8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные