Математический анализ Примеры

$lim_{k \to 2} (\sqrt{3 k^{2} + 4}) \cdot (\sqrt[3]{3 k + 2})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $k$ к $2$ .

$lim_{k \to 2} \sqrt{3 k^{2} + 4} \cdot lim_{k \to 2} \sqrt[3]{3 k + 2}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{k \to 2} 3 k^{2} + 4} \cdot lim_{k \to 2} \sqrt[3]{3 k + 2}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $k$ к $2$ .

$\sqrt{lim_{k \to 2} 3 k^{2} + lim_{k \to 2} 4} \cdot lim_{k \to 2} \sqrt[3]{3 k + 2}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $k$ .

$\sqrt{3 lim_{k \to 2} k^{2} + lim_{k \to 2} 4} \cdot lim_{k \to 2} \sqrt[3]{3 k + 2}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $k^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{3 {(lim_{k \to 2} k)}^{2} + lim_{k \to 2} 4} \cdot lim_{k \to 2} \sqrt[3]{3 k + 2}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $k$ к $2$ .

$\sqrt{3 {(lim_{k \to 2} k)}^{2} + 4} \cdot lim_{k \to 2} \sqrt[3]{3 k + 2}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{3 {(lim_{k \to 2} k)}^{2} + 4} \cdot \sqrt[3]{lim_{k \to 2} 3 k + 2}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $k$ к $2$ .

$\sqrt{3 {(lim_{k \to 2} k)}^{2} + 4} \cdot \sqrt[3]{lim_{k \to 2} 3 k + lim_{k \to 2} 2}$

Этап 9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $k$ .

$\sqrt{3 {(lim_{k \to 2} k)}^{2} + 4} \cdot \sqrt[3]{3 lim_{k \to 2} k + lim_{k \to 2} 2}$

Этап 10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $k$ к $2$ .

$\sqrt{3 {(lim_{k \to 2} k)}^{2} + 4} \cdot \sqrt[3]{3 lim_{k \to 2} k + 2}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $k$ , подставив значение $2$ для $k$ .

$\sqrt{3 \cdot 2^{2} + 4} \cdot \sqrt[3]{3 lim_{k \to 2} k + 2}$

Этап 11.2

Найдем предел $k$ , подставив значение $2$ для $k$ .

$\sqrt{3 \cdot 2^{2} + 4} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2 + 2}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{3 \cdot 4 + 4} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2 + 2}$

Этап 12.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\sqrt{12 + 4} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2 + 2}$

Этап 12.3

Добавим $12$ и $4$ .

$\sqrt{16} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2 + 2}$

Этап 12.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2 + 2}$

Этап 12.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2 + 2}$

Этап 12.6

Умножим $3$ на $2$ .

$4 \cdot \sqrt[3]{6 + 2}$

Этап 12.7

Добавим $6$ и $2$ .

$4 \cdot \sqrt[3]{8}$

Этап 12.8

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$4 \cdot \sqrt[3]{2^{3}}$

Этап 12.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$4 \cdot 2$

Этап 12.10

Умножим $4$ на $2$ .

$8$