Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 8}}{\frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 1.4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 1.5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} {(n + 8)}^{n + 1}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(n + 8)}^{n + 1}$ в виде $e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(n + 8)}^{n + 1})$ , вынося $n + 1$ из логарифма.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{(n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} (n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.5

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.7

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.8

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.9

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 3.11

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Этап 4

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(n + 7)}^{n}$ в виде $e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}}}}$

Этап 4.2

Развернем $\ln ({(n + 7)}^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n + 7)}}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n + 7)}}}}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 7)}}}}$

Этап 5.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 7)}}}}$

Этап 5.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Этап 6.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Этап 6.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Этап 6.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Этап 6.5

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Этап 6.6

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3^{8 + 8} \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Этап 7.2

Добавим $8$ и $8$ .

$3^{16} \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Этап 7.3

Возведем $3$ в степень $16$ .

$43046721 \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$43046721 (\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}} \cdot \frac{1}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}})$

Этап 7.5

Объединим.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)} e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Этап 7.6

Умножим $e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}$ на $e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7) + (8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Этап 7.6.2

Добавим $8$ и $7$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + (8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Этап 7.6.3

Добавим $8$ и $1$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + 9 \cdot \ln (8 + 8)}}$

Этап 7.6.4

Добавим $8$ и $8$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Этап 7.6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.5.1

Упростим $8 \ln (15)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (15^{8}) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Этап 7.6.5.2

Возведем $15$ в степень $8$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Этап 7.6.5.3

Упростим $9 \ln (16)$ путем переноса $9$ под логарифм.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + \ln (16^{9})}}$

Этап 7.6.5.4

Возведем $16$ в степень $9$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + \ln (68719476736)}}$

Этап 7.6.6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625 \cdot 68719476736)}}$

Этап 7.6.7

Умножим $2562890625$ на $68719476736$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Этап 7.7

Умножим $3^{8 + 1}$ на $1$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1}}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Этап 7.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Добавим $8$ и $1$ .

$43046721 \frac{3^{9}}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Этап 7.8.2

Возведем $3$ в степень $9$ .

$43046721 \frac{19683}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Этап 7.9

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$43046721 (\frac{19683}{176120502681600000000})$

Этап 7.10

Сократим общий множитель $6561$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Вынесем множитель $6561$ из $43046721$ .

$6561 (6561) \frac{19683}{176120502681600000000}$

Этап 7.10.2

Вынесем множитель $6561$ из $176120502681600000000$ .

$6561 \cdot 6561 \frac{19683}{6561 \cdot 26843545600000000}$

Этап 7.10.3

Сократим общий множитель.

$6561 \cdot 6561 \frac{19683}{6561 \cdot 26843545600000000}$

Этап 7.10.4

Перепишем это выражение.

$6561 (\frac{19683}{26843545600000000})$

Этап 7.11

Объединим $6561$ и $\frac{19683}{26843545600000000}$ .

$\frac{6561 \cdot 19683}{26843545600000000}$

Этап 7.12

Умножим $6561$ на $19683$ .

$\frac{129140163}{26843545600000000}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{129140163}{26843545600000000}$

Десятичная форма:

$4.81084596 \cdot 10^{- 9}$