Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Этап 2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Этап 3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$

Этап 4

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}}$

Этап 4.2

Развернем $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Этап 5.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Этап 5.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Этап 6.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Этап 6.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{9}{8})}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим $8 \cdot \ln (\frac{9}{8})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\frac{1}{e^{\ln ({(\frac{9}{8})}^{8})}}$

Этап 7.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{{(\frac{9}{8})}^{8}}$

Этап 7.2.3

Применим правило умножения к $\frac{9}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{9^{8}}{8^{8}}}$

Этап 7.2.4

Возведем $9$ в степень $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{8^{8}}}$

Этап 7.2.5

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{16777216}}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{16777216}{43046721})$

Этап 7.4

Умножим $\frac{16777216}{43046721}$ на $1$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{16777216}{43046721}$

Десятичная форма:

$0.38974434 \dots$