Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{x (n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{{(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 1

Вынесем член $x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$x lim_{n \to 8} \frac{(n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{{(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$x \frac{lim_{n \to 8} (n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$x \frac{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении ${(2 n + 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(lim_{n \to 8} 2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Этап 11

Вынесем степень $2$ в выражении ${(2 n + 3)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} 2 n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Этап 13

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Этап 14

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Этап 15.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Этап 15.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Этап 15.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$x \frac{9 {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Этап 16.1.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x \frac{9 {(16 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Этап 16.1.3

Добавим $16$ и $1$ .

$x \frac{9 \cdot 17^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Этап 16.1.4

Возведем $17$ в степень $2$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Этап 16.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{{(16 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Этап 16.2.2

Добавим $16$ и $3$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{19^{2} \cdot 8}$

Этап 16.2.3

Возведем $19$ в степень $2$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{361 \cdot 8}$

Этап 16.3

Умножим $9$ на $289$ .

$x \frac{2601}{361 \cdot 8}$

Этап 16.4

Умножим $361$ на $8$ .

$x \frac{2601}{2888}$

Этап 16.5

Объединим $x$ и $\frac{2601}{2888}$ .

$\frac{x \cdot 2601}{2888}$

Этап 16.6

Перенесем $2601$ влево от $x$ .

$\frac{2601 x}{2888}$