Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Этап 8

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Этап 10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Этап 11

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Этап 13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 14.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 14.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Этап 14.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим $8$ и $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

Этап 15.2.2

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

Этап 15.2.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

Этап 15.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

Этап 15.2.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

Этап 15.3

Умножим $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ на $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

Этап 15.4

Умножим $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ на $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

Этап 15.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

Этап 15.6

Упростим.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

Этап 15.7

Разделим $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ на $1$ .

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

Этап 15.8

Развернем $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Этап 15.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Этап 15.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Этап 15.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.9.1

Умножим $3$ на $3$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Этап 15.9.2

Умножим $- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.9.2.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Этап 15.9.2.2

Умножим $10$ на $2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Этап 15.9.3

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.9.3.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Этап 15.9.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Этап 15.9.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Этап 15.9.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Этап 15.9.6

Умножим $3$ на $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$1.05727969 \dots$