Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} {(\frac{n - 2}{n})}^{n}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{n - 2}{n})}^{n}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{n - 2}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n - 2}{n})}^{n})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{n - 2}{n})}^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n - 2}{n})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n - 2}{n})}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n - 2}{n})}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n - 2}{n})}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 2}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 2.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 3.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 2}{lim_{n \to 8} n})}$

Этап 3.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})}^{8})}$

Этап 4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})}^{8}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $8 - 1 \cdot 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 \cdot 2}{8})}^{8}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 2$ .

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 (2)}{8})}^{8}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 8) - 1 (2)$ .

${(\frac{- 1 (- 8 + 2)}{8})}^{8}$

Этап 4.3.4

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 8 + 2)$ .

${(\frac{2 (- 1 (- 4 + 1))}{8})}^{8}$

Этап 4.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

${(\frac{2 (- 1 (- 4 + 1))}{2 (4)})}^{8}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель.

${(\frac{2 (- 1 (- 4 + 1))}{2 \cdot 4})}^{8}$

Этап 4.3.5.3

Перепишем это выражение.

${(\frac{- 1 (- 4 + 1)}{4})}^{8}$

Этап 4.4

Добавим $- 4$ и $1$ .

${(\frac{- 1 \cdot - 3}{4})}^{8}$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

${(\frac{3}{4})}^{8}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3^{8}}{4^{8}}$

Этап 4.7

Возведем $3$ в степень $8$ .

$\frac{6561}{4^{8}}$

Этап 4.8

Возведем $4$ в степень $8$ .

$\frac{6561}{65536}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{6561}{65536}$

Десятичная форма:

$0.10011291 \dots$