Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{e^{n} + e^{- n}}{e^{2 n} - 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} e^{n} + e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} e^{n} + lim_{n \to 8} e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{lim_{n \to 8} - n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Этап 5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - lim_{n \to 8} 2}$

Этап 7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 2}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 2}$

Этап 9

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{e^{8} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

Этап 10.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{e^{8} + e^{- 8}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

Этап 10.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{e^{8} + e^{- 8}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{8} + \frac{1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.1.2

Чтобы записать $e^{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{e^{8} e^{8}}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{e^{8} e^{8} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.1.4

Умножим $e^{8}$ на $e^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{e^{8 + 8} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.1.4.2

Добавим $8$ и $8$ .

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{16} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{16} - 2}$

Этап 11.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8}} \cdot \frac{1}{e^{16} - 2}$

Этап 11.4

Умножим $\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}$ на $\frac{1}{e^{16} - 2}$ .

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8} (e^{16} - 2)}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8} (e^{16} - 2)}$

Десятичная форма:

$0.00033546 \dots$