Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{{(n + 2)}^{3} + {(n - 2)}^{3}}{n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} {(n + 2)}^{3} + {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} {(n + 2)}^{3} + lim_{n \to 8} {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении ${(n + 2)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + lim_{n \to 8} {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2)}^{3} + lim_{n \to 8} {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + lim_{n \to 8} {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении ${(n - 2)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + lim_{n \to 8} 2 n^{2} - lim_{n \to 8} 1}$

Этап 10

Вынесем степень $4$ в выражении $n^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + lim_{n \to 8} 2 n^{2} - lim_{n \to 8} 1}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 1}$

Этап 12

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 1}$

Этап 13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{{(8 + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 14.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{{(8 + 2)}^{3} + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 14.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{{(8 + 2)}^{3} + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{8^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 14.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{{(8 + 2)}^{3} + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Добавим $8$ и $2$ .

$\frac{10^{3} + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 15.1.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{1000 + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 15.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1000 + {(8 - 2)}^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 15.1.4

Вычтем $2$ из $8$ .

$\frac{1000 + 6^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 15.1.5

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{1000 + 216}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 15.1.6

Добавим $1000$ и $216$ .

$\frac{1216}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{1216}{4096 + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{1216}{4096 + 2 \cdot 64 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2.3

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{1216}{4096 + 128 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1216}{4096 + 128 - 1}$

Этап 15.2.5

Добавим $4096$ и $128$ .

$\frac{1216}{4224 - 1}$

Этап 15.2.6

Вычтем $1$ из $4224$ .

$\frac{1216}{4223}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1216}{4223}$

Десятичная форма:

$0.28794695 \dots$