Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} 2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{4 n^{2}})$

Этап 1

Вынесем член $2592$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$2592 lim_{n \to 8} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{4 n^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$2592 (lim_{n \to 8} \frac{1}{4} + lim_{n \to 8} \frac{1}{2 n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Этап 3

Найдем предел $\frac{1}{4}$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + lim_{n \to 8} \frac{1}{2 n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} lim_{n \to 8} \frac{1}{n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Этап 7

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} lim_{n \to 8} \frac{1}{n^{2}})$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n^{2}})$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n^{2}})$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}})$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}})$

Этап 11.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Этап 12.1.1.2

Умножим $2$ на $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Этап 12.1.2

Объединим.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 8^{2}})$

Этап 12.1.3

Умножим $1$ на $1$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4 \cdot 8^{2}})$

Этап 12.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 8^{2}})$

Этап 12.1.4.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}})$

Этап 12.1.4.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}})$

Этап 12.1.4.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{6}})$

Этап 12.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2 + 6}})$

Этап 12.1.4.5

Добавим $2$ и $6$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{8}})$

Этап 12.1.5

Возведем $2$ в степень $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Этап 12.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{64}{64}$ .

$2592 (\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Этап 12.2.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{64}{64}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Этап 12.2.3

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{16}{16}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{256})$

Этап 12.2.4

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{16}{16}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{256})$

Этап 12.2.5

Умножим $4$ на $64$ .

$2592 (\frac{64}{256} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{256})$

Этап 12.2.6

Умножим $16$ на $16$ .

$2592 (\frac{64}{256} + \frac{16}{256} + \frac{1}{256})$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2592 \frac{64 + 16 + 1}{256}$

Этап 12.4

Добавим $64$ и $16$ .

$2592 \frac{80 + 1}{256}$

Этап 12.5

Добавим $80$ и $1$ .

$2592 (\frac{81}{256})$

Этап 12.6

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Вынесем множитель $32$ из $2592$ .

$32 (81) \frac{81}{256}$

Этап 12.6.2

Вынесем множитель $32$ из $256$ .

$32 \cdot 81 \frac{81}{32 \cdot 8}$

Этап 12.6.3

Сократим общий множитель.

$32 \cdot 81 \frac{81}{32 \cdot 8}$

Этап 12.6.4

Перепишем это выражение.

$81 (\frac{81}{8})$

Этап 12.7

Объединим $81$ и $\frac{81}{8}$ .

$\frac{81 \cdot 81}{8}$

Этап 12.8

Умножим $81$ на $81$ .

$\frac{6561}{8}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{6561}{8}$

Десятичная форма:

$820.125$