Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} + 4 n + 2} - \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - 1$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} + 4 n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{n \to 8} 5 n^{2} + 4 n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\sqrt{lim_{n \to 8} 5 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\sqrt{5 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 8

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} 5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} 5 n^{2} - lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 10

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 11

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 1$

Этап 13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 1$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\sqrt{5 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 1$

Этап 14.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\sqrt{5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 1$

Этап 14.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\sqrt{5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 1$

Этап 14.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\sqrt{5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{5 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Этап 15.2

Умножим $5$ на $64$ .

$\sqrt{320 + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Этап 15.3

Умножим $4$ на $8$ .

$\sqrt{320 + 32 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Этап 15.4

Добавим $320$ и $32$ .

$\sqrt{352 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Этап 15.5

Добавим $352$ и $2$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Этап 15.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{5 \cdot 64 - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Этап 15.7

Умножим $5$ на $64$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{320 - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Этап 15.8

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{320 - 16} - 1 \cdot 1$

Этап 15.9

Вычтем $16$ из $320$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{304} - 1 \cdot 1$

Этап 15.10

Перепишем $304$ в виде $4^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.10.1

Вынесем множитель $16$ из $304$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{16 (19)} - 1 \cdot 1$

Этап 15.10.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{4^{2} \cdot 19} - 1 \cdot 1$

Этап 15.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{354} - (4 \sqrt{19}) - 1 \cdot 1$

Этап 15.12

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\sqrt{354} - 4 \sqrt{19} - 1 \cdot 1$

Этап 15.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{354} - 4 \sqrt{19} - 1$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{354} - 4 \sqrt{19} - 1$

Десятичная форма:

$0.37929194 \dots$